Teilbarkeitsregeln von 1 bis 20: Quersumme, letzte Ziffer und schnelle Kopfrechentricks

Ist 17.248 durch 8 teilbar? Mit schriftlicher Division dauert die Antwort eine halbe Minute. Mit der passenden Regel dauert sie zwei Sekunden: Die letzten drei Ziffern lauten 248, und 248 : 8 = 31. Also ja. Genau dafür gibt es Teilbarkeitsregeln. Sie sind kein Taschenspielertrick, sondern eine direkte Folge aus dem Aufbau des Dezimalsystems, und sie gehören zu den wenigen Werkzeugen der Mathematik, die man einmal lernt und danach jahrzehntelang nutzt.

Definition: Was Teilbarkeitsregeln sind, was Teiler und Rest bedeuten

Eine Zahl a heißt durch eine Zahl b teilbar, wenn die Division a : b ohne Rest aufgeht, wenn es also eine ganze Zahl c gibt mit a = b · c. In diesem Fall nennt man b einen Teiler von a. 36 ist durch 4 teilbar, weil 36 = 4 · 9. 37 ist nicht durch 4 teilbar, denn hier bleibt der Rest 1.

Teilbarkeitsregeln sind Kurzverfahren, mit denen sich diese Frage beantworten lässt, ohne die Division auszuführen. Statt die ganze Zahl zu verarbeiten, schaut man auf die letzte Ziffer, auf die letzten beiden Ziffern, auf die letzten drei Ziffern oder auf die Quersumme. Die Quersumme ist dabei die Summe aller Ziffern einer Zahl: Die Quersumme von 4.825 ist 4 + 8 + 2 + 5 = 19.

Wichtig für die Definition: Teilbarkeit ist immer eine Ja-Nein-Frage. Entweder bleibt kein Rest, oder die Zahl ist nicht teilbar. Ein Rest von 0,5 existiert in diesem Zusammenhang nicht, weil wir ausschließlich mit ganzen Zahlen arbeiten. Wer das verinnerlicht, vermeidet den häufigsten Denkfehler im Thema.

Die folgenden Kapitel sind nach Teilern sortiert, damit dieser Artikel auch als Nachschlagewerk taugt. Wer nur eine einzelne Regel sucht, springt direkt zum passenden Abschnitt.

Inhaltsverzeichnis in Tabellenform: die Teilbarkeitsregeln von 1 bis 10

Die Frage nach den Teilbarkeitsregeln von 1 bis 10 taucht in jeder fünften und sechsten Klasse auf. Diese Übersicht beantwortet sie kompakt, die Begründungen und Beispiele folgen in den einzelnen Abschnitten.

Zwei Muster fallen sofort auf. Bei 2, 4, 5, 8 und 10 genügt der Blick auf das Zahlenende, also auf die letzte Ziffer, auf die letzten beiden Ziffern oder auf die letzten drei Ziffern. Bei 3 und 9 arbeitet man dagegen mit der Quersumme. Die 6 kombiniert zwei Regeln, und die 7 fällt aus dem Rahmen.

Teilbar durch 1 und durch 2: wenn die letzte Ziffer gerade ist

Die 1 ist der langweiligste Fall. Jede ganze Zahl ist durch 1 teilbar, denn a = 1 · a gilt immer. Trotzdem gehört die 1 in jede Liste, weil sie zusammen mit der Zahl selbst die sogenannten trivialen Teiler bildet, ein Begriff, der später bei Primzahlen wichtig wird.

Bei der 2 reicht ein einziger Blick: Ist die letzte Ziffer gerade, also 0, 2, 4, 6 oder 8, dann ist die Zahl durch 2 teilbar. 4.738 ist durch 2 teilbar, 4.739 nicht. Der Grund liegt im Stellenwertsystem. Zehner, Hunderter, Tausender sind allesamt Vielfache von 10, und 10 ist selbst durch 2 teilbar. Übrig bleibt also nur die Einerstelle, und die entscheidet allein.

Zahlen mit gerader Endziffer heißen gerade Zahlen, alle anderen ungerade. Das klingt banal, trägt aber weit: Jede Regel für 4, 8, 16 und 32 baut auf demselben Prinzip auf, nur dass dort mehr Stellen am Zahlenende betrachtet werden müssen.

Ein praktischer Nebeneffekt: Wenn eine Zahl nicht durch 2 teilbar ist, kann sie auch nicht durch 4, 6, 8, 10 oder 12 teilbar sein. Ein einziger Blick auf die letzte Ziffer schließt also fünf Kandidaten gleichzeitig aus. Das spart bei Aufgaben zur Primfaktorzerlegung spürbar Zeit.

Quersummenregel: Wann ist eine Zahl durch 3 teilbar?

Hier kommt das erste echte Werkzeug. Eine Zahl ist genau dann durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist. Diese Quersummenregel gilt ohne Ausnahme, egal wie viele Stellen die Zahl hat.

Beispiel 1: 4.527. Die Quersumme beträgt 4 + 5 + 2 + 7 = 18. Da 18 durch 3 teilbar ist, ist auch 4.527 durch 3 teilbar. Die Probe bestätigt es: 4.527 : 3 = 1.509.

Beispiel 2: 8.231. Quersumme 8 + 2 + 3 + 1 = 14. 14 ist nicht durch 3 teilbar, folglich ist 8.231 nicht durch 3 teilbar. Bei der Division bliebe der Rest 2, und zwar genau der Rest, den auch 14 : 3 lässt. Das ist ein hübscher Zusatznutzen der Quersummenregel: Sie liefert nicht nur die Antwort ja oder nein, sondern auch den Rest.

Bei sehr großen Zahlen bildet man die Quersumme einfach mehrfach. Für 987.654.321 ergibt die Quersumme 45, und die Quersumme von 45 ist 9. Weil 9 durch 3 teilbar ist, ist die Quersumme durch 3 teilbar, und damit ist die gesamte Zahl durch 3 teilbar. Mathematiker nennen das die iterierte Quersumme.

Ein Trick für den Alltag: Beim Bilden der Quersumme darf man alle Ziffern 3, 6 und 9 sowie alle Ziffernpaare, die zusammen 3, 6 oder 9 ergeben, direkt streichen. Bei 3.627.918 fallen 3, 6, 9 weg, ebenso das Paar 7 + 2 = 9. Übrig bleiben 1 und 8, zusammen 9. Also ist die Quersumme durch 3 teilbar, und die Zahl ist durch 3 teilbar. Wer diesen Kniff beherrscht, prüft achtstellige Zahlen im Kopf.

Teilbarkeitsregel bei 4: die letzten beiden Ziffern entscheiden

Die Frage nach der Regel für die 4 wird besonders häufig gestellt, weil viele sie mit der Quersumme verwechseln. Die Quersumme hilft bei der 4 überhaupt nicht. Stattdessen gilt: Eine Zahl ist genau dann durch 4 teilbar, wenn die aus den letzten beiden Ziffern gebildete Zahl durch 4 teilbar ist.

Beispiel: 7.316. Die letzten beiden Ziffern bilden die Zahl 16, und 16 : 4 = 4. Also ist 7.316 durch 4 teilbar. Gegenbeispiel: 9.542. Die letzten beiden Ziffern ergeben 42, das ist nicht durch 4 teilbar, es bleibt der Rest 2. Damit lässt auch 9.542 bei der Division durch 4 den Rest 2.

Warum nur die letzten beiden Ziffern? Weil 100 durch 4 teilbar ist. Jede Hunderterzahl, jede Tausenderzahl und jede größere Stelle ist damit automatisch durch 4 teilbar und verändert den Rest nicht. Nur der Zweierblock am Ende bleibt übrig.

Eine Variante für Kopfrechner: Halbiere die Zahl und prüfe, ob das Ergebnis noch gerade ist. 7.316 halbiert ergibt 3.658, letzte Ziffer gerade, also ist die Ausgangszahl durch 4 teilbar. Die Methode funktioniert, weil 4 = 2 · 2 ist, und sie lässt sich für die 8 fortsetzen.

Praktisch wird die Regel bei Schaltjahren. Ein Jahr ist Schaltjahr, wenn seine Jahreszahl durch 4 teilbar ist, mit der Zusatzbedingung für volle Jahrhunderte. 2024: die letzten beiden Ziffern sind 24, durch 4 teilbar, Schaltjahr. 2100: die letzten beiden Ziffern sind 00, formal durch 4 teilbar, aber als Jahrhundertjahr nur dann Schaltjahr, wenn die Zahl durch 400 teilbar ist. 2100 ist es nicht.

Teilbar durch 5 und durch 10: die letzte Ziffer verrät alles

Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer 0 oder 5 ist. 3.470 ist durch 5 teilbar, 12.345 ebenfalls, 8.892 nicht. Der Grund ist derselbe wie bei der 2: Die 10 ist durch 5 teilbar, also spielt nur die Einerstelle eine Rolle.

Bei der 10 wird es noch einfacher. Eine Zahl ist genau dann durch 10 teilbar, wenn die letzte Ziffer eine 0 ist. Analog gilt für 100, dass die letzten beiden Ziffern 00 sein müssen, und für 1.000, dass die letzten drei Ziffern 000 lauten.

Daraus folgt eine nützliche Kettenregel: Jede durch 10 teilbare Zahl ist automatisch auch durch 2 und durch 5 teilbar. Umgekehrt ist jede Zahl, die gleichzeitig durch 2 und durch 5 teilbar ist, durch 10 teilbar. 2 und 5 sind beides Primzahlen, ihr Produkt ist 10, und genau deshalb funktioniert diese Verknüpfung so sauber.

Wann ist eine Zahl durch 6 teilbar? Zwei Regeln auf einmal

Für die 6 gibt es keine eigene Ziffernregel, und das ist auch nicht nötig. Eine Zahl ist genau dann durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und gleichzeitig durch 3 teilbar ist. Beide Bedingungen müssen erfüllt sein, eine allein genügt nicht.

Beispiel: 4.122. Die letzte Ziffer ist gerade, also ist die Zahl durch 2 teilbar. Die Quersumme beträgt 4 + 1 + 2 + 2 = 9, und damit ist die Quersumme durch 3 teilbar. Beide Prüfungen bestanden, folglich ist 4.122 durch 6 teilbar. Kontrolle: 4.122 : 6 = 687.

Gegenbeispiel 1: 4.125. Die Quersumme ist 12, also durch 3 teilbar, aber die letzte Ziffer ist ungerade. Die Zahl ist durch 3 teilbar, aber nicht durch 6 teilbar. Gegenbeispiel 2: 4.124. Gerade, aber die Quersumme beträgt 11, also nicht durch 3 teilbar. Auch hier ist die Zahl nicht durch 6 teilbar.

Dieses Kombinationsprinzip trägt weit, hat aber eine Falle. Es funktioniert nur, wenn die beiden Teiler teilerfremd sind, wenn sie also außer 1 keinen gemeinsamen Teiler haben. 2 und 3 sind teilerfremd, deshalb klappt es bei der 6. Bei der 8 darf man nicht argumentieren, eine Zahl sei durch 8 teilbar, weil sie durch 2 und durch 4 teilbar ist. 12 ist durch 2 und durch 4 teilbar, aber nicht durch 8 teilbar.

Die 7 bricht das Muster: Teilbarkeit ohne Quersumme

Für die 7 existiert keine Regel, die mit der Einfachheit der Quersummenregel mithalten kann. Das bekannteste Verfahren arbeitet mit Verdopplung: Man streicht die letzte Ziffer, verdoppelt sie und zieht das Ergebnis vom verbleibenden Rest der Zahl ab. Ist das Resultat durch 7 teilbar, war es auch die Ausgangszahl.

Beispiel 1.519: Letzte Ziffer 9 streichen, übrig bleibt 151. Das Doppelte von 9 ist 18, und 151 minus 18 ergibt 133. Noch einmal: Letzte Ziffer 3 streichen, übrig 13, minus 6 ergibt 7. Die 7 ist durch 7 teilbar, also ist 1.519 durch 7 teilbar. Tatsächlich gilt 1.519 : 7 = 217.

Ehrlich gesagt ist bei dreistelligen Zahlen die schriftliche Division meist schneller. Deshalb wird die Regel für die 7 im Unterricht oft nur als Kuriosität erwähnt. Wer sie trotzdem beherrscht, hat bei Knobelaufgaben einen Vorsprung.

Teilbar durch 8: die letzten drei Ziffern prüfen

Die Regel für die 8 setzt das Muster von 2 und 4 fort. Eine Zahl ist genau dann durch 8 teilbar, wenn die aus den letzten drei Ziffern gebildete Zahl durch 8 teilbar ist. Der Grund: 1.000 ist durch 8 teilbar, denn 1.000 = 8 · 125.

Beispiel 46.312. Die letzten drei Ziffern bilden 312, und 312 : 8 = 39. Also ist 46.312 durch 8 teilbar. Gegenbeispiel 91.526: Die letzten drei Ziffern ergeben 526, dividiert durch 8 bleibt der Rest 6. Damit ist 91.526 nicht durch 8 teilbar.

Falls 312 noch zu groß erscheint, hilft das Halbierungsverfahren. Dreimal halbieren und prüfen, ob dabei immer eine ganze Zahl herauskommt: 312, 156, 78, 39. Alle Zwischenschritte sind ganze Zahlen, also ist die Zahl durch 8 teilbar. Bricht die Kette ab, weil eine Hälfte nicht aufgeht, ist die Zahl nicht durch 8 teilbar.

Dasselbe Prinzip gilt weiter: Für 16 betrachtet man die letzten vier Ziffern, für 32 die letzten fünf. In der Praxis lohnt sich das selten, aber es zeigt die Systematik hinter allen Teilbarkeitsregeln für Zweierpotenzen.

Wann ist eine Zahl durch 9 teilbar? Die Quersumme zum zweiten Mal

Eine Zahl ist genau dann durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist. Diese Variante der Quersummenregel ist der Zwilling der Dreierregel und genauso zuverlässig.

Beispiel 5.742: Die Quersumme lautet 5 + 7 + 4 + 2 = 18. Weil die Quersumme durch 9 teilbar ist, ist 5.742 durch 9 teilbar. Rechnung: 5.742 : 9 = 638. Beispiel 5.741: Quersumme 17, nicht durch 9 teilbar, die Zahl also ebenfalls nicht. Der Rest bei der Division durch 9 ist 8, genau wie bei 17 : 9.

Auch hier darf man die Quersumme wiederholt bilden. Für 8.999.991 ergibt sich zunächst 54, daraus 9. Die Zahl ist durch 9 teilbar. Und beim Bilden der Quersumme darf man jede 9 sowie jedes Ziffernpaar, das 9 ergibt, streichen, etwa 4 und 5 oder 2 und 7.

Zwischen 3 und 9 besteht eine klare Hierarchie. Jede durch 9 teilbare Zahl ist auch durch 3 teilbar, denn 9 = 3 · 3. Umgekehrt stimmt das nicht: 24 ist durch 3 teilbar, aber nicht durch 9 teilbar, weil die Quersumme 6 beträgt. Wer diese Richtung verwechselt, produziert in Klassenarbeiten reihenweise falsche Kreuze.

Die Neunerprobe nutzt genau diesen Zusammenhang. Sie war vor der Zeit der Taschenrechner eine Standardkontrolle für schriftliche Rechnungen, weil sich Rechenfehler fast immer in einer veränderten Quersumme niederschlagen.

Teilbarkeitsregeln jenseits der 10: 11, 12, 15, 25 und 20

Die alternierende Quersumme für die 11 ist der elegante Sonderfall. Man addiert und subtrahiert die Ziffern abwechselnd von rechts nach links. Bei 90.728 rechnet man 8 minus 2 plus 7 minus 0 plus 9 = 22. Weil 22 durch 11 teilbar ist, ist auch 90.728 durch 11 teilbar.

• 11: alternierende Quersumme ist durch 11 teilbar oder 0
• 12: die Zahl ist durch 4 und durch 3 teilbar, etwa 8.136 mit Quersumme 18 und den letzten beiden Ziffern 36
• 15: die Zahl ist durch 5 und durch 3 teilbar, etwa 2.355
• 18: die Zahl ist durch 2 und durch 9 teilbar
• 20: die letzte Ziffer ist 0 und die Zehnerziffer gerade
• 25: die letzten beiden Ziffern lauten 00, 25, 50 oder 75
• 125: die letzten drei Ziffern bilden eine durch 125 teilbare Zahl

Bei der 12 zeigt sich erneut die Teilerfremdheit. 12 = 4 · 3, und 4 und 3 haben keinen gemeinsamen Teiler außer 1. Deshalb darf man beide Prüfungen kombinieren. Die Zerlegung 12 = 6 · 2 wäre dagegen unbrauchbar, weil 6 und 2 den gemeinsamen Teiler 2 besitzen.

Ist 0 durch 2 teilbar? Sonderfälle, die Punkte kosten

Ja, 0 ist durch 2 teilbar. Die Definition verlangt eine ganze Zahl c mit 0 = 2 · c, und c = 0 erfüllt das. Es bleibt kein Rest, also liegt Teilbarkeit vor. Die Null ist damit eine gerade Zahl, und sie ist darüber hinaus durch jede ganze Zahl außer 0 teilbar: durch 3, durch 6, durch 9, durch 7, durch 143.

Der umgekehrte Fall ist verboten. Die Division durch 0 ist nicht definiert, 0 ist also niemals ein Teiler. Wer in einer Aufgabe die Teiler von 18 aufzählt, beginnt bei 1, nicht bei 0.

Zweiter Stolperstein: negative Zahlen. Auch minus 48 ist durch 6 teilbar, denn minus 48 = 6 · (minus 8). Die Teilbarkeitsregeln arbeiten mit dem Betrag, das Vorzeichen spielt keine Rolle. Die Quersumme bildet man ebenfalls aus den Ziffern ohne Vorzeichen.

Dritter Punkt: Die Quersumme einer einstelligen Zahl ist die Zahl selbst. Bei 6 ist die Quersumme 6, also ist die Quersumme durch 3 teilbar, und die 6 ist durch 3 teilbar. Das klingt trivial, wird in Prüfungen aber überraschend oft falsch notiert.

Warum die Quersummenregel funktioniert

Der Beweis passt in wenige Zeilen und macht die Regel von einem auswendig gelernten Satz zu etwas Nachvollziehbarem. Schreiben wir eine dreistellige Zahl mit den Ziffern d 1, d 2 und d 3 als

d 1 · 100 + d 2 · 10 + d 3.

Nun zerlegen wir die Stellenwerte: 100 = 99 + 1 und 10 = 9 + 1. Eingesetzt ergibt das d 1 · 99 + d 1 + d 2 · 9 + d 2 + d 3. Die Anteile mit 99 und 9 sind in jedem Fall durch 9 und damit auch durch 3 teilbar. Übrig bleibt d 1 + d 2 + d 3, und das ist exakt die Quersumme.

Die Zahl unterscheidet sich von ihrer Quersumme also nur um ein Vielfaches von 9. Ist die Quersumme durch 3 teilbar, ist die ganze Zahl durch 3 teilbar. Ist die Quersumme durch 9 teilbar, ist die Zahl durch 9 teilbar. Für mehr Stellen ändert sich nichts, weil 999, 9.999 und alle weiteren Neunerketten ebenfalls durch 9 teilbar sind.

Genau deshalb gibt es für die 7 keine Quersummenregel: 9, 99 und 999 sind nicht durch 7 teilbar, das Argument bricht zusammen. Und genau deshalb funktioniert bei der 11 die alternierende Variante, denn dort sind 11, 99 und 1.001 die hilfreichen Bausteine.

Teilbarkeitsregeln, Primzahlen und Primfaktorzerlegung

Primzahlen sind Zahlen größer als 1, die genau zwei Teiler haben, nämlich 1 und sich selbst. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 und 19 sind die ersten Primzahlen. Die 2 ist dabei die einzige gerade unter allen Primzahlen, alle weiteren Primzahlen haben eine ungerade letzte Ziffer.

Teilbarkeitsregeln sind das Standardwerkzeug, um Primzahlen von zusammengesetzten Zahlen zu unterscheiden. Um zu prüfen, ob 391 eine Primzahl ist, testet man der Reihe nach: Die letzte Ziffer ist ungerade, also nicht durch 2 teilbar. Die Quersumme ist 13, also nicht durch 3 teilbar. Die letzte Ziffer ist weder 0 noch 5, also nicht durch 5 teilbar. Dann folgen 7, 11, 13, 17, und bei 17 wird man fündig: 391 = 17 · 23. Keine Primzahl.

Man muss dabei nur bis zur Wurzel der Zahl testen und nur Primzahlen als Teiler ausprobieren. Für 391 liegt die Grenze bei rund 19,8, also genügen die Primzahlen bis 19. Das reduziert den Aufwand von Hunderten Divisionen auf acht.

Bei der Primfaktorzerlegung arbeitet man nach demselben Schema. 2.520 ist gerade, die Quersumme beträgt 9, also ist die Zahl durch 2 und durch 9 teilbar. Schrittweise erhält man 2.520 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7. Ohne Teilbarkeitsregeln wäre das Raten, mit ihnen ist es ein geordnetes Verfahren. Auch beim Kürzen von Brüchen wie 2.520 zu 3.150 spart die Kombination aus Quersumme und letzter Ziffer erheblich Zeit.

Typische Fehler beim Thema Teilbarkeitsregeln

Drei Fehler tauchen in Klassenarbeiten immer wieder auf. Erstens die Umkehrung bei 3 und 9: Aus „durch 3 teilbar“ folgt nicht „durch 9 teilbar“. Zweitens die falsche Kombination, etwa die Behauptung, eine durch 2 und durch 6 teilbare Zahl sei durch 12 teilbar. 18 widerlegt das sofort. Drittens die Anwendung der Quersumme auf 4 oder 8, wo sie schlicht nichts aussagt.

Hinzu kommt ein Fehler beim Ablesen: Bei der Regel für die 4 nimmt man die letzten beiden Ziffern als zusammenhängende Zahl, nicht ihre Summe. Bei 7.316 ist 16 gemeint, nicht 1 + 6. Dasselbe gilt für die letzten drei Ziffern bei der 8.

Wer die Regeln sicher beherrschen will, braucht keine langen Theorieblöcke, sondern kurze tägliche Wiederholung. Fünf Zahlen pro Tag, jeweils geprüft auf 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 und 10, genügen über zwei bis drei Wochen völlig. Autokennzeichen, Hausnummern und Kassenbons liefern das Material gratis.

Bleiben die Fehler trotzdem, liegt die Ursache oft nicht bei den Teilbarkeitsregeln selbst, sondern beim Stellenwertverständnis oder beim kleinen Einmaleins. Eine gezielte Nachhilfe setzt dort an und arbeitet die Lücke von unten auf, statt nur Regeln zu drillen. Ob in der Gruppe, im Einzelunterricht oder online, entscheidend ist die Diagnose vor der ersten Stunde. Seriöse Anbieter führen dafür ein kostenloses Beratungsgespräch und testen den Stand, bevor sie ein Paket empfehlen. In einer solchen Beratung zeigt sich meist innerhalb von zwanzig Minuten, ob tatsächlich das Thema Teilbarkeit das Problem ist oder etwas anderes dahintersteckt. Wer Nachhilfe erwägt, sollte außerdem auf feste Ansprechpartner und auf Probestunden achten. Mathematik-Nachhilfe im fünften und sechsten Schuljahr zahlt sich besonders aus, weil Bruchrechnung, Primfaktorzerlegung und später die Prozentrechnung direkt auf diesen Grundlagen aufbauen.

Übungsaufgaben mit Lösungen

Prüfe bei jeder Zahl, durch welche der Zahlen 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 und 10 sie teilbar ist. Notiere jeweils die Quersumme und die letzten beiden Ziffern, bevor du entscheidest.

1. 1.728
2. 5.940
3. 2.306
4. 45.351
5. 60.000

1.728: Die letzte Ziffer ist gerade, also durch 2 teilbar. Die Quersumme beträgt 18, damit ist die Quersumme durch 3 teilbar und zugleich durch 9 teilbar, die Zahl ist also durch 3 teilbar und durch 9 teilbar. Die letzten beiden Ziffern bilden 28, das ist durch 4 teilbar. Die letzten drei Ziffern bilden 728, und 728 : 8 = 91, also durch 8 teilbar. Gerade und durch 3 teilbar bedeutet außerdem durch 6 teilbar. Nicht durch 5 und nicht durch 10 teilbar.

5.940: Letzte Ziffer 0, also durch 2, durch 5 und durch 10 teilbar. Quersumme 18, folglich durch 3 teilbar und durch 9 teilbar sowie durch 6 teilbar. Die letzten beiden Ziffern ergeben 40, durch 4 teilbar. Die letzten drei Ziffern ergeben 940, geteilt durch 8 bleibt Rest 4, also nicht durch 8 teilbar.

2.306: Gerade, also durch 2 teilbar. Quersumme 11, damit nicht durch 3 teilbar, nicht durch 9 teilbar und auch nicht durch 6 teilbar. Die letzten beiden Ziffern bilden 06, nicht durch 4 teilbar. Nicht durch 5, 8 oder 10 teilbar. Einziger Treffer unter allen geprüften Teilern ist die 2.

45.351: Letzte Ziffer ungerade, also nicht durch 2, 4, 6, 8 oder 10 teilbar. Quersumme 18, also durch 3 teilbar und durch 9 teilbar. Nicht durch 5 teilbar, denn die letzte Ziffer ist 1.

60.000: Durch 2, 4, 5, 8 und 10 teilbar, weil die letzten drei Ziffern 000 lauten. Quersumme 6, also durch 3 teilbar, aber nicht durch 9 teilbar. Gerade und durch 3 teilbar, folglich durch 6 teilbar.

Wer alle fünf Aufgaben ohne Division löst, hat die Teilbarkeitsregeln im Griff. Als Steigerung eignet sich die Umkehrung: Welche Ziffer muss an die Stelle des Platzhalters in 4.2_6, damit die Zahl durch 3 teilbar ist? Die bekannten Ziffern ergeben die Teilquersumme 12, also sind 0, 3, 6 und 9 die Lösungen. Soll die Zahl stattdessen durch 9 teilbar sein, bleibt nur die 6, denn nur dann ist die Quersumme 18 und damit die Quersumme durch 9 teilbar.

Solche Platzhalteraufgaben tauchen in Vergleichsarbeiten regelmäßig auf, und sie prüfen genau das, worauf es ankommt: nicht das Auswendiglernen der Regeln, sondern das Verständnis dafür, welche Stelle einer Zahl über welche Teilbarkeit entscheidet.