Quadratzahlen verstehen: von 1 · 1 bis 20 · 20

Wer eine ganze Zahl mit sich selbst multipliziert, erhält eine Quadratzahl. 6 · 6 = 36, also gehört 36 zu den Quadratzahlen. Hinter dem gesamten Thema steckt genau diese eine Rechenoperation, und sie begleitet Schülerinnen und Schüler von der Grundschule bis in die Oberstufe.

Statt eines Inhaltsverzeichnisses hier ein kurzer Überblick, was auf dieser Seite steht: die Definition, die Quadratzahlen 1 bis 20 als Tabelle, die vollständige Liste bis 100 und darüber hinaus, die Verbindung zum Einmaleins, der Zusammenhang mit ungeraden Zahlen, typische Eigenschaften, zwei Rechenwege für große Zahlen sowie Übungen im Stil einer Klassenarbeit.

Was sind Quadratzahlen einfach erklärt?

Eine Quadratzahl ist das Produkt aus einer ganzen Zahl und genau derselben Zahl. Beide Faktoren sind identisch. Aus 3 · 3 = 9 folgt: 9 ist eine Quadratzahl. Aus 3 · 4 = 12 folgt: 12 ist keine, weil die beiden Faktoren verschieden sind. Geschrieben wird das Ganze meist als Potenz, also 3² statt 3 · 3.

Der Name kommt aus der Geometrie. Legt man ein Quadrat mit der Seitenlänge 5 cm an, beträgt die Fläche 5 · 5 = 25 cm². Die Quadratzahl gibt also an, wie viele kleine Einheitsquadrate in das große Quadrat passen. Dieses Bild hilft enorm, wenn Quadratzahlen im Matheunterricht zum ersten Mal auftauchen: Man kann die Anzahl der Kästchen auf Rechenpapier tatsächlich abzählen.

Formal lautet die Formel: n · n = n², wobei n eine natürliche Zahl ist. Setzt man der Reihe nach ein, entsteht die Folge 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36 und so weiter. Ob die Null mitgezählt wird, hängt vom Schulbuch ab. Mathematisch ist 0 · 0 = 0 eine Quadratzahl, in vielen Aufgaben der Klasse 5 beginnt die Liste aber erst bei 1.

Die Quadratzahlen 1 bis 20 im Überblick

Die ersten zwanzig Quadratzahlen sollte man irgendwann im Kopf haben. Bis 12 · 12 reicht das kleine Einmaleins, danach wird es für viele neu.

Auffällig ist der wachsende Abstand. Zwischen 1 und 4 liegen 3, zwischen 4 und 9 liegen 5, zwischen 9 und 16 liegen 7. Die Sprünge zwischen zwei benachbarten Quadratzahlen werden immer größer, und zwar nach einem festen Muster.

Welche Quadratzahlen gibt es von 1 bis 100?

Diese Frage lässt sich auf zwei Arten lesen, und genau daran scheitern Schüler in der Klassenarbeit regelmäßig. Gemeint sein können entweder die Quadratzahlen der Zahlen 1 bis 100, also 1, 4, 9 bis hin zu 10 000. Oder die Quadratzahlen, die selbst zwischen 1 und 100 liegen.

Im zweiten Fall ist die Liste kurz und übersichtlich: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100. Das sind zehn Quadratzahlen, mit der Null sind es elf: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100. Zwischen 100 und 1000 folgen dann 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900 und 961.

Eine vollständige Aufzählung aller Quadratzahlen gibt es nicht, denn die Folge bricht nie ab. Zu jeder natürlichen Zahl existiert eine Quadratzahl, also auch 1 000 000 (1000 · 1000) oder 15 129 (123 · 123). Die Frage „Welche Quadratzahlen gibt es?“ beantwortet man deshalb am besten mit der Formel n², nicht mit einer Liste.

Ungerade Zahlen und odd number: das versteckte Muster

Addiert man die ungeraden Zahlen der Reihe nach, entstehen lückenlos die Quadratzahlen. 1 = 1. 1 + 3 = 4. 1 + 3 + 5 = 9. 1 + 3 + 5 + 7 = 16. Jede ungerade Zahl, im Englischen odd number genannt, legt also einen weiteren Winkel um das bestehende Quadrat herum.

Das lässt sich mit Plättchen nachlegen: Ein Quadrat aus 3 · 3 = 9 Steinen wird zum Quadrat mit Seitenlänge 4, indem man 7 Steine als L-förmigen Rand ergänzt. 9 + 7 = 16. Die nächste odd number ist 9, und tatsächlich gilt 16 + 9 = 25. Wer dieses Prinzip einmal verstanden hat, kann die Reihe 0, 1, 4, 9, 16, 25 ohne Multiplikation fortsetzen.

Umgekehrt gilt: Die Differenz zweier benachbarter Quadratzahlen ist immer eine odd number. Aus 81 und 100 folgt die Differenz 19, aus 144 und 169 die Differenz 25. Diese Eigenschaft wird in Klassenarbeiten gern als Begründungsaufgabe gestellt.

Quadratzahlen 1 bis 10 aus dem Einmaleins ableiten

Wer das kleine Einmaleins sicher beherrscht, kennt die ersten zehn Quadratzahlen bereits. Sie stehen in der Einmaleins-Tabelle auf der Diagonalen: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100. In der Grundschule wird genau diese Diagonale oft farbig markiert, weil sie beim Kopfrechnen als Stützpunkt dient.

Das Einmaleins hilft auch bei größeren Werten. 14 · 14 lässt sich zerlegen in 14 · 10 plus 14 · 4, also 140 + 56 = 196. Diese Zerlegung ist langsamer als Auswendigwissen, aber zuverlässig. In der Grundschule reicht das Einmaleins bis 10 · 10, ab Klasse 5 wird meist bis 20 · 20 verlangt, weil Wurzelziehen und Flächenberechnung darauf aufbauen.

Eigenschaften: Woran man eine Quadratzahl erkennt

Die letzte Ziffer verrät schon viel. Quadratzahlen enden nur auf 0, 1, 4, 5, 6 oder 9. Eine Zahl mit der Endziffer 2, 3, 7 oder 8 kann niemals eine Quadratzahl sein. 4728 scheidet damit sofort aus, 4729 dagegen ist tatsächlich 67². Dieser Trick spart in der Klassenarbeit Zeit, beweist aber nichts im positiven Fall: 24 endet auf 4 und ist trotzdem keine Quadratzahl.

Weitere Eigenschaften: Das Quadrat einer geraden Zahl ist gerade, das Quadrat einer ungeraden Zahl ungerade. Jede Quadratzahl hat eine ungerade Anzahl an Teilern, weil ein Teiler mit sich selbst gepaart ist. 36 hat die Teiler 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36, also neun Stück. Und das Ergebnis einer Quadrierung ist nie negativ, egal ob man (-5)² oder 5 · 5 = 25 rechnet.

Große Quadratzahlen im Kopf: Formel statt Taschenrechner

Für Zahlen, die auf 5 enden, gibt es einen kurzen Weg. Man nimmt die Zehnerziffer, multipliziert sie mit ihrem Nachfolger und hängt 25 an. Bei 35 also 3 · 4 = 12, Ergebnis 1225. Bei 85: 8 · 9 = 72, Ergebnis 7225. Ein Schritt, kein Taschenrechner.

Allgemeiner arbeitet die erste binomische Formel: (a + b)² = a² + 2ab + b². Für 23² rechnet man mit a = 20 und b = 3 also 400 + 120 + 9 = 529. Für 98² nutzt man die zweite Formel mit 100 und 2: 10 000 minus 400 plus 4 = 9604. Beide Formeln sind nichts anderes als eine geschickte Zerlegung der Faktoren und gehören in der Mathematik zum Standardwerkzeug ab Klasse 7.

Aufgaben im Stil einer Klassenarbeit

Typische Aufgabenformate wiederholen sich. Ein Beispiel für jede Sorte:

• Berechnen: 13², 17², 21², 24². Lösung: 169, 289, 441, 576.
• Zuordnen: Welche dieser Zahlen sind Quadratzahlen? 64, 72, 121, 150, 196. Lösung: 64, 121 und 196.
• Umkehraufgabe: Welche Zahl ergibt mit sich selbst multipliziert 324? Lösung: 18, denn 18 · 18 = 324.
• Textaufgabe: Ein quadratisches Beet hat eine Seitenlänge von 7 m. Wie groß ist die Fläche? Lösung: 49 m².
• Muster fortsetzen: 0, 1, 4, 9, 16, ? Lösung: 25, denn die Differenzen sind 1, 3, 5, 7, 9.

Für eigene Übungen lohnt sich ein einfaches Vorgehen: Die Liste der Quadratzahlen 1 bis 20 abdecken, in zufälliger Reihenfolge abfragen und nur die Treffer notieren, die beim ersten Versuch sitzen. Nach drei bis vier Durchgängen über mehrere Tage bleiben meist nur noch 13², 14², 17² und 19² als Wackelkandidaten übrig.

Wer die Quadratzahlen beherrscht, tut sich später beim Wurzelziehen, beim Satz des Pythagoras und bei quadratischen Gleichungen deutlich leichter. Der Aufwand ist überschaubar: zwanzig Zahlen, ein paar Muster, etwas Übung mit Aufgaben aus dem Buch. Mehr braucht dieses Thema nicht.